Rough paths and Lévy processes As Perturbations of Differential Equations

Titel in Übersetzung: Rauhe Pfade und Lévy-Prozesse als Störungen von Differentialgleichungen

Kistosil Fahim

Publikation: Thesis / Studienabschlussarbeiten und HabilitationsschriftenDissertation

Abstract

Im ersten Thema dieser Arbeit, wir die Existenz der Lösung partielle Differentialgleichungen, welche durch rauhen Pfade (rough paths) angetrieben werden. Wir stellen fest, dass die Theorie des rauhen Pfades von Terry Lyons in seiner wegweisenden Arbeit als Erweiterung der klassischen Theorie der kontrollierten Differentialgleichungen eingeführt wurde. Derzeit hat sich diese Theorie intensiv entwickelt, siehe die Arbeiten von Gubinelli, Friz, Hairer und Friz. In dieser Arbeit geben wir zwei verschiedene partielle Differentialgleichungen an, nämlich Volterra-Gleichungen und Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichungen (Abkürzung: LLGG). Zuerst, wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für die semilinearen Volterra-Gleichungen, getrieben von einem rauhen Pfad. Wir geben ein maximales Regelmäßigkeitsergebnis des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mit einem Gedächtnisbegriff an, getrieben von einem rauhen Pfad, welcher unter Verwendung des Nagy-Dilatationssatzes gesteuert wird. Wir das Ergebnis an um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Volterra-Gleichungen zu zeigen, ebenfalls von einem rauen Pfad getrieben. Zweitens, dieser Arbeit enthält die Arbeit zur Wong-Zakai-Approximation für die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichungen (LLGG) angetrieben von einem geometrischen rauhe (geometric rough path). Wir passen Lyons Theorie der rauhen Pfade an, um LLGG zu untersuchen, welche von geometrischen rauhen Pfaden in einer Dimension angetrieben werden, wobei nur die Austausch-Energie ungleich Null ist. Die Hauptbestandteile für die Konstruktion der Lösung und die entsprechenden Konvergenzergebnisse sind die Eigenschaft der maximalen Regelmäßigkeit und die Theorie des geometrischen rauhen Pfades. Im zweiten Thema dieser Arbeit wir die stochastische Differentialgleichung, welche durch Lévy-Prozesse gesteuert wird. Die Lévy-Prozesse sind eine grundlegende Klasse stochastischer Prozesse. Wir bemerken, wichtige Beispiele von Lévy-Prozessen sind der Poisson-Prozess, zusammengesetzte Poisson-Prozesse, die Brownsche Bewegung und stabile Prozesse. Der von Paul Lévy in den 1930er Jahren eingeführte Lévy-Prozess sowie auch aktuelle Forschungen erörtern Eigenschaften ihrer Verteilungen und Verhaltensweisen ihrer Stichprobenfunktionen. Die wichtigen Klassen stochastischer Prozesse werden als Verallgemeinerungen der Klasse der Lévy-Prozesse betrachtet. Eine davon ist die Klasse der Markov-Prozesse. In dieser Arbeit stellen wir analytische Eigenschaften nichtlokaler Übergangssemigruppen, der sogenannten Markov'sche Halbgruppe, die mit einer Klasse von stochastischen Differentialgleichungen in R^d assoziiert sind, die von reinen Lévy-Prozessen vom Sprungtyp angetrieben werden, vor. Wir zeigen, unter welchen Bedingungen die Halbgruppe im Besov-Raum $B_{p,q}^ m(R^d)$ mit $1\le p, q<\infty$ and $m\in R$ analytisch ist. Darüber hinaus werden in dieser Arbeit einige Anwendungen vorgestellt, indem die starke Feller-Eigenschaft nachgewiesen und schwache Fehlerschätzungen für Approximationsschemata der stochastischen Differentialgleichungen über den Besov-Raum $B_{\infty,\infty}^ m(R^d)$ angegeben werden.
Titel in ÜbersetzungRauhe Pfade und Lévy-Prozesse als Störungen von Differentialgleichungen
OriginalspracheEnglisch
Gradverleihende Hochschule
  • Montanuniversität
Betreuer/-in / Berater/-in
  • Brand, Clemens, Mitbetreuer (intern)
  • Manna, Utpal , Beurteiler B (extern), Externe Person
  • Hausenblas, Erika, Betreuer (intern)
  • Thalhammer, Mechthild, Beurteiler A (extern), Externe Person
PublikationsstatusVeröffentlicht - 1800

Bibliographische Notiz

gesperrt bis null

Schlagwörter

  • Theorie der rauhen Pfade
  • Volterra-Gleichungen
  • Milde Lösung
  • Resolvente
  • Partielle Differentialgleichungen
  • Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichungen
  • Wong-Zakai-Approximation
  • Ferromagnetismus
  • Stochastisches Integral vom Sprung-Typ
  • Poisson'sche Zufallsmaße
  • Markov'sche Halbgruppe
  • Pseudodifferentialoperatoren
  • nicht lokale Operatoren

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