Geometry and topology of self-affine tiles and Rauzy fractals

Publikationen: Thesis / StudienabschlussarbeitDissertationForschung

Autoren

Abstract

In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit topologischen Problemen im Zusammenhang mit selbstaffinen Kacheln und fraktalen kristallographischen Kacheln sowie mit der Konstruktion von Raumfüllenden Kurven für selbstaffine Kacheln und Rauzyfraktale. Im ersten Teil betrachten wir die eindeutige Lösung T=T(M,D) der Mengengleichung MT=T+D im dreidimensionalen Raum, wobei M eine ganzzahlige expandierende 3 mal 3 Matrix und D eine Ziffernmenge mit ganzzahligen Vektoren als Elementen sind. Hat T positives Lebesguemaß, so nennt man diese Menge eine selbstaffine Kachel. Besteht die Ziffernmenge nur aus Vielfachen eines gegebenen Vektors v so heißt diese Ziffernmenge kollinear. Wir beweisen, dass der Rand einer selbstaffinen Kachel T mit kollinearer Ziffernmenge homeomorph zu einer zweidimensionalsn Sphäre ist, wenn die Anzahl der Nachbarn von T in einer in natürlicher Weise induzierten Kachelung gleich 14 ist. Weiters geben wir eine Charakterisierung aller dreidimensionalen selbstaffinen Kacheln mit kollinearer Ziffernmenge, die 14 Nachbarn haben. Diese Charakterisierung geschieht durch die Koeffizienten des Minimalpolynoms von M. In unseren Beweisen verwenden wir Ergebnisse von R. H. Bing über die topologische Charakterisierung von Sphären. Unser Zugang kann als Algorithmus formuliert werden der es erlaubt, zu überprüfen ob eine gegebene selbstaffine Kachel mit 14 Nachbarn einen Rand hat, der homeomorph zu einer Sphäre ist. Darüberhinaus ist dieser Zugang verallgemeinerungsfähig auf höhere Dimensionen. Im zweiten Teil studieren wir topologische Eigenschaften einer Klasse planarer kristallographischer replication Tiles. Sei M eine 2 mal 2 Matrix mit charakteristischem Polynom p(x) und sei v ein ganzzahliger Vektor sodass v und Mv linear unabhängig sind. Dann kann man M und v verwenden, um eine Mengengleichung aufzustellen, die eine eindeutige nichtleere kompakte Menge T definiert, welche gleich dem Abschluss ihres Innerren ist und die Ebene mittels der kristallographischen Gruppe p2 Kachelt. p2 wird durch die Rotation um 180 Grad und ganzzaglige Translationen erzeugt. Leung und Lau konnten im Kontext von lattice tiles beweisen, dass die Vereinigung von T und (-T) homeomorph zu einer Kreisscheibe ist genau dann, wenn die Koeffizienten von p eine gewisse Ungleichung erfüllen. Jedoch gilt diese Charakterisierung nicht mehr für T selbst. In dieser Arbeit geben wir eine vollständige Charakterisierung jener tiles T, die homeomorph zu einer Kreisscheibe sind. Im letzten Teil der Arbeit konstruieren wir raumfüllende Kurven für selbstaffine Mengen und Rauzyfraktale. Wir führen frühere Ideen zur systematischen Konstruktion raumfüllender Kurven für selbstähnliche Mengen von Dai, Rao und Zhang fort und verallgemeinern das Konzept der optimalen Parametrisierung auf invariante Mengen von graph directed IFS. Wir zeigen, dass die invariante Menge eines linearen single matrix graph directed IFS mit primitiver Matrix, das die open set Bedingung erfüllt, eine solche optimale Parametrisierung erlaubt. Dieses Resultat bildet die Basis für weitere Untersuchungen. Es erlaubt uns, die Definitionen von skeletons, geordneten graph directed IFS, und linearen graph directed IFS auf graphengesteuerte iterierte Funktionensysteme auszuweiten. Damit sind wir in der Lage, systematisch raumfüllende Kurven für selbstaffine Mengen und Rauzyfraktale zu konstruieren.

Details

Titel in ÜbersetzungGeometrie und Topologie von selbstaffinen Kacheln und Rauzyfraktale
OriginalspracheEnglisch
QualifikationDr.mont.
Gradverleihende Hochschule
Betreuer/-in / Berater/-in
  • Tichy, Robert, Beurteiler B (extern), Externe Person
  • Thuswaldner, Jörg, Beurteiler A (intern)
StatusVeröffentlicht - 2019